Дори един базисен поглед върху сферата на вероятностите може да даде полезни насоки за това как бихме интерпретирали дадена информация.

Изправени пред различни логически загадки и избори, често не осъзнаваме как следването на даден логически или статистически курс от наша страна очертава как самите ние възприемаме света. Или може да се окаже грешен, въпреки привидната си правдоподобност. Или пък успешен... въпреки привидната си недалновидност.

Електронното издание "Бизнес инсайдър" предлага пет класически статистически загадки или проблеми, които са решени по неконвенционален начин. Именно този подход ще покаже как в някои случаи може да се залъгваме при интерпретацията на дадена информация.

Парадоксът Монти Хол

Представете си, че сте в телевизионно шоу. Пред вас стоят три врати. Зад две от тези врати има кози, а зад третата – чисто нова кола.

Водещият на шоуто ви казва, че когато изберете врата, той ще отвори една от двете останали врати, за да разкрие козата зад нея. След това ще бъдете оставени с избора – дали да останете на вратата, която сте избрали и все още е неотворена, или да я смените с останалата, трета врата.

В такъв случай кое би било подходящо – изборът, смяната на третата врата, или оставането на първоначално избраната?

Изображение: Wikimedia.org

Отговорът: Смяната

Парадоксът Монти Хол всъщност е базиран на реално проведено телевизионно шоу. Резултатът от тази загадка е източник на ожесточени дебати години наред.

Когато правите първоначалния си избор на врата, вие разполагате с шанс 1:3 да сте уцелили колата, стояща зад една от вратите. Смяната обаче вече е направила този коефициент 2:3.

Или казано по друг начин – играчът, чиято стратегия е винаги да сменя вратите, ще загуби, само ако зад вратата, която първоначално е избрал, действително има кола. Играч, който пък първоначално е избрал врата с коза зад нея, при смяната винаги ще спечели, защото ще избере вратата с кола зад нея.

Ето и едно таблично представяне на парадокса. Приемаме, че състезателят е избрал Врата I.

Врата I    Врата II   Врата III          Оставане на I          Смяна на I
Кола        Коза        Коза                 Кола                        Коза
Коза        Кола        Коза                 Коза                        Кола
Коза        Коза        Кола                 Коза                        Кола

Рожденически парадокс

Разполагате с 23 души във вашия офис. Каква е вероятността двама от вашите служители да имат рожден ден на една и съща дата? Махаме 29 февруари от сметките в случая.

Отговор: 50%

Съвсем естествено е, че ако имахте 366 служители в офиса, задължително поне двама от тях щяха да са родени на една и съща дата. Все пак годината има 365 дни.

В случая обаче приемаме, че всяка рождена дата е с еднаква вероятност. Тогава при 57 души във вашия офис, има 99% шанс двама от тях да споделят рождената си дата. При 23-ма, вероятността е 50%.

Нахвърляно така, това изглежда странно. Защо да е така?

Снимка: Wikimedia.org

Вместо да пресмятате възможността двама души да споделят рождената си дата, по-скоро пресметнете възможността двама души да не споделят рождената си дата. Понеже едното изключва другото като сценарий, първата вероятност плюс втората вероятност трябва да са равни на 1.

Изберете двама души в офиса. Вероятността вторият да не споделя рождената си дата с първия е 364/365. Вероятността на трети човек да не споделя с първия или втория вече е 363/365. Ако обиколим офиса и правим постепенно това отново и отново, и умножим получилото се, се случва следното:

365/365 х 364/365 х 363/365 х 362/365 (и така до 23-и служител, т.е.) х 343/365 = 0,4927

Така се оказва, че вероятността никой в офиса да не споделя рождена дата с някой друг от останалите 22 души е 0,4927, или близо 49,3%. Следвайки равенството на едно между двете вероятности, това значи, че вероятността служителите да споделят един рожден ден е 1 – 0,4927, или 0,5073, което пък е 50,7%.

Възможностите на комарджията

Даден комарджия разполага с фиксирана сума пари, обозначена с B. Той играе с коефициент за успех, по-малък от 1. Всеки път, когато печели, той увеличава залога си до определена дроб 1/N от сумата му. N трябва да е положително число. Когато губи, комарджията не намалява залога си.

Всеки път, когато мъжът губи, той ще увеличава мизата си до $B/N, или общата сума, с която разполага, делена на N. Ако B е 1000 долара, а N = 4, тогава ще залага по 250 долара всеки път, когато печели. Ако губи, то залогът му ще остане на това равнище, тоест 250 долара.

Ако действа по този начин, какво се очаква да спечели най-накрая?

Отговор: Ще загуби всичко

Ако комарджията залага 1/N от общата си сума всеки път и поддържа този залог при загубите, то той е на N загубени залози поред от банкрута.

Ако приемем, че той продължава да играе, и има известен шанс той да загуби – все пак говорим за комарджийство, то тогава той е все по-близо до банкрута с всеки свой неуспех.

Може би си мислите, че нашият комарджия е някакъв идиот, но всъщност това е доста широко разпространен стил на игра. Казината също насърчават това, осигурявайки на играчите повече чипове с по-висока деноминация при техните победи. Така се насърчава и залагането с по-големи суми. Може би сте играли покер – знаете, че там концепцията е сходна и винаги се акумулира все по-висок и по-висок залог.

Откритието на Абрахам Валд

На Валд е отредено да преглежда увредени след въздушни битки по време на Втората световна война самолети. При огледа си, той е трябвало да анализира кои части от самолетите имат нужда от допълнителна защита.

Абрахам открива, че корпусът и горивното отделение на завърналите се въздушни единици са доста по-засегнати от двигателите. Какво обаче трябва да каже на тези, които са му отредили тази задача?

Отговорът: Защитете частите, които не са увредени

Валд (на снимката долу, източник: Wikimedia.org) решава да подходи по-неконвенционално, препоръчвайки именно това. Впоследствие се оказва, че далновидността му ще спаси хиляди животи.

Логиката му е следната. Няма смисъл от допълнителна защита на тези части, които са били толкова увредени. Щом самолетите са могли да долетят обратно, значи именно те могат да държат на щета. Ако при Валд са се завърнали самолети само с такива проблеми и области като двигателите са били незасегнати, това значи само едно – че при засягане на двигател или друга част, самолетът не може да лети и ще претърпи катастрофа.

Затова е нужно и подсилване на защитата на тези по-деликатни части.

Парадоксът на Симпсън

Изследване, свързано с бъбречните проблеми, прави оглед на два различни метода за медикаментозно лечение – А и B. Проследява се как леченията се отразяват на наличието на малки или големи камъни в бъбреците. Изследването открива следното:

- Малки камъни, метод A - 93%, 81 от 87 случая са били успешни

- Малки камъни, метод B – 87%, 234 от 270 случая са били успешни

- Големи камъни, метод A – 73%, 192 от 263 случая са били успешни

- Големи камъни, метод B – 78%, 55 от 80 случая са били успешни

Общо, метод A – 78%, или 273 от 350 случая са били успешни
Общо, метод B – 83%, или 289 от 350 случая са били успешни.

Въпросът е кое е по-доброто лечение – метод A или метод B?

Отговорът: Метод А

Въпреки че метод А има по-висок успех и при малките, и при големите камъни, цялостната статистика извежда метод B като по-подходящ.

Това е отличен пример за парадокса на Симпсън, където отношението между две различни групи в определен случай се променя при представяне на обща статистика. Ако забележите, общият брой на A и B при общата картина е 350, но при различните опити цифрите силно се различават една от друга, пораждайки илюзорност относно това кой от методите реално е по-успешен.

Тази статия ви хареса? Присъединете се към Еcon.bg и във Facebook, за да следите всичко най-интересно за икономиката, предприемачеството, кариерата, личните финанси, политиката и обществото!